A. Cube

Xotira: 16 MB, Vaqt: 1000 ms

Sizga Nurmuhammad bir ifoda beradi. Siz shuni to'la kub yoki to'la kub emasligini tekshiring.

$A(n) = 2^{n}+3^{n}+5^{n}+6^{n}$

2
2
3

NO
NO

B. Simple graph

Xotira: 16 MB, Vaqt: 1000 ms

Nargiza matematikaning eng qiziq bo'limlaridan biri "Graph" bo'limini o'rganishni yaqinda boshladi.Shuning uchun bu bo'limga oid qiyin misollarni yechishni hali boshlagani yo'q.U sizga grafga oid oson savol berdi shuni javobini toping.

Sizga $n$ ta uchga ega bo'lgan ixtiyoriy bo'g'lamli oddiy graf beriladi. Bu graf minimal nechta qirraga ega bo'la oladi?

1
2

1

C. Easy for mathematian

Xotira: 16 MB, Vaqt: 1000 ms

Nargiza sizga bir summani yechish uchun berdi. Siz shuni yeching.

$S(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\lfloor \frac{n+2^{k-1}}{2^{k}}\rfloor$

$\lfloor x\rfloor -$ bu $x$ soning butun qismi.

1
2

2

D. Tangens pi

Xotira: 16 MB, Vaqt: 1000 ms

Nurmuhammad "Sonlar nazariyasi" kitobini ratsional sonlar bobini zo'r o'rganib chiqdi.Endi navbat irratsional sonlarga. U   $\tan(\frac{\pi}{m})$   sonini irratsionaligini tekshirmoqchi edi,lekin buni u eplay olmadi.Siz ham urinib ko'ring.

4
4
9
14
12

NO
YES
YES
YES

E. Infinity sum

Xotira: 16 MB, Vaqt: 1000 ms

Nurmuhammad summalar haqida o'rganayotgan vaqtda cheksiz summalar bo'lishi mumkinligini ko'rib qoldi.Bunday summalarni ba'zilarini qiymatini va ba'zilarini esa ratsional chiqishi yoki chiqmasligini aniqlay olishi mumkinligini bilib qoldi.

U quyidagi summani ratsional yoki ratsional emasligini topa oldi.Sizchi topa olasizmi?

$S(m,k)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(mn+k)}$

3
1 2
2 1
2 3

YES
NO
NO

F. Matematik o'yla

Xotira: 16 MB, Vaqt: 1000 ms

Bu safar sizga masala berish navbati Nargizda , u sizga quyidagi ifodani berdi.Siz shuni qiymatini topishingizni o'zi yetarli.

$F(m,n)=m+n-mn+2\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}[\frac{kn}{m}]$

[$x$]-bu yerda $x$ sonining butun qismi.

2
1 3
1 2

1
1

G. Hard-easy?

Xotira: 16 MB, Vaqt: 1000 ms

Abubakr akasidan o'rnak olib summalarni o'rganishga kirishdi.U quyidagi tenglikni qaysi sonlar uchun o'rinli ekanini topa olmadi va sizdan yordam so'radi. Unga yordam bering.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}([\frac{2i^2}{n}]-2[\frac{i^2}{n}])=\frac{n-1}{2}$

Yuqaridagi tenglik ba'zi $n$ larda bajariladi. Sizga $n$ soni beriladi. Siz esa shu $n$ soni uchun yuqoridagi tenglik bajariladimi yoki yo'qmi topishingiz zarur.

2
5
6

YES
NO

H. Rational number

Xotira: 16 MB, Vaqt: 1000 ms

Nurmuhammad ukasiga sonlar nazariyasini o'rgatish uchun "Sonlar nazariyasi" kitobini o'rganishni boshladi. Undan bir misolni ko'rib qoldi , lekin ishlay olmadi shuning uchun u sizdan buni yechishga yordam so'radi. Unga yordam bering.

$S=\cfrac{a_{1}}{1 !}+\cfrac{a_{2}}{2 !}+\cfrac{a_{3}}{3 !}+\cfrac{a_{4}}{4 !}+....$

Yuqoridagi ifoda shunday tarzda cheksiz davom etadi. $a_1,a_2,a_3,a_4,...$ lar o'suvchi arifmetik progressiyani tashkil etadi.Sizga $a_m$ va $a_n$ ($m<n$) sonlari beriladi.Siz manashu ifoda ratsional yoki ratsional emasligini aniqlang.Agar $a_m$ va $a_n$ sonlari 0 ga teng bo'lsa yuqoridagi ifoda chekli bo'ladi va barcha $a_1,a_2,a_3,..$ sonlari 0 ga teng bo'ladi.

$0\leq a_i \leq i-1 (i=2,3,4,5,6,...) \in \Z ,a_1 \in \Z$

2
0 0
1 2

YES
YES